向量知识总结

向量知识总结

　　总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它可以使我们更有效率，因此十分有必须要写一份总结哦。但是总结有什么要求呢？以下是小编帮大家整理的向量知识总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

向量知识总结1

　　1、有向线段的定义

　　线段的端点A为始点，端点B为终点，这时线段AB具有射线AB的方向。像这样，具有方向的线段叫做有向线段。记作：

　　2、有向线段的三要素：有向线段包含三个要素：始点、方向和长度。

　　3、向量的定义：（1）具有大小和方向的量叫做向量。向量有两个要素：大小和方向。

　　（2）向量的表示方法：①用两个大写的英文字母及前头表示，有向线段来表示向量时，也称其为向量。书写时，则用带箭头的小写字母，来表示。

　　4、向量的长度（模）：如果向量=，那么有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度（或模），记作||。

　　5、相等向量：如果两个向量和的方向相同且长度相等，则称和相等，记作：=。

　　6、相反向量：与向量等长且方向相反的向量叫做的相反向量，记作：—。

　　7、向量平行（共线）：如果两个向量方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量平行也称向量共线。向量平行于向量，记作//。规定：//。

　　8、零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作：零向量的方向是不确定的，是任意的。由于零向量方向的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是零向量还是非零向量。

　　9、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。

　　10、向量的加法运算：

　　（1）向量加法的三角形法则

　　1１、向量的减法运算

　　12、两向量的和差的模与两向量模的和差之间的关系

　　对于任意两个向量，都有|||—|||||+||。

　　13、数乘向量的定义：

　　实数和向量的乘积是一个向量，这种运算叫做数乘向量，记作。

　　向量（）的长度与方向规定为：（1）||=|

　　（2）当0时，与方向相同；当0时，与方向相反。

　　（3）当=0时，当=时，=。

　　14、数乘向量的运算律：（1））=（结合律）

　　（2）（+）=+（第一分配律）（3）（+）=+。（第二分配律）

　　15、平行向量基本定理

　　如果向量，则//的.充分必要条件是，存在唯一的实数，使得=。

　　如果与不共线，若m=n，则m=n=0。

　　16、非零向量的单位向量：非零向量的单位向量是指与同向的单位向量，通常记作。

　　=||，即==（，）

　　17、线段中点的向量表达式

　　点M是线段AB的中点，O是平面内任意一点，则=（+）。

　　18、平面向量的直角坐标运算：如果=（a1，a2），=（b1，b2），则

　　+=（a1+b1，a2+b2）；—=（a1—b1，a2—b2）；=（a1，a2）。

　　19、利用两点表示向量：如果A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2—x1，y2—y1）。

　　20、两向量相等和平行的条件：若=（a1，a2），=（b1，b2），则

　　=a1=b1且a2=b2。

　　//a1b2—a2b1=0。特别地，如果b10，b20，则// =。

　　21、向量的长度公式：若=（a1，a2），则||=。

　　22、平面上两点间的距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则||=。

　　23、中点公式

　　若点A（x1，y1），点B（x2，y2），点M（x，y）是线段AB的中点，则x=，y= 。

　　24、重心公式

　　在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），A（x3，y3），△ABC的重心为G（x，y），则

　　x=，y=

　　2５、（1）两个向量夹角的取值范围是[0，p]，即0，p。

　　当=0时，与同向；当=p时，与反向

　　当=时，与垂直，记作。

　　（3）向量的内积定义：=||||cos。

　　其中||cos叫做向量在向量方向上的正射影的数量。规定=0。

　　（4）内积的几何意义

　　与的内积的几何意义是的模与在方向上的正射影的数量，或的模与在方向上的正射影数量的乘积

　　当0，90时，0；=90时。

　　90时，0。

　　26、向量内积的运算律：

　　（1）交换率

　　（2）数乘结合律

　　（3）分配律

　　（4）不满足组合律

向量知识总结2

　　考点一：向量的概念、向量的基本定理

　　【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

　　注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

　　考点二：向量的运算

　　【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

　　【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

　　考点三：定比分点

　　【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。

　　【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

　　考点四：向量与三角函数的综合问题

　　【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

　　【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

　　考点五：平面向量与函数问题的交汇

　　【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的'问题为主，要注意自变量的取值范围。

　　【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。

　　考点六：平面向量在平面几何中的应用

　　【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

　　【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

　　高二数学向量公式

　　1.单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|

　　2.P(x,y)那么向量OP=x向量i+y向量j

　　|向量OP|=根号（x平方+y平方）

　　3.P1(x1,y1)P2(x2,y2)

　　那么向量P1P2=｛x2-x1,y2-y1｝

　　|向量P1P2|=根号[(x2-x1)平方+(y2-y1)平方]

　　4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝

　　向量a*向量b=|向量a|*|向量b|*Cosα=x1x2+y1y2

　　Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|

　　(x1x2+y1y2)

　　根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）

　　5.空间向量：同上推论

　　（提示：向量a=｛x,y,z｝）

　　6.充要条件：

　　如果向量a⊥向量b

　　那么向量a*向量b=0

　　如果向量a//向量b

　　那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|

　　或者x1/x2=y1/y2

　　7.|向量a±向量b|平方

　　=|向量a|平方+|向量b|平方±2向量a*向量b

　　=(向量a±向量b)平方

向量知识总结3

　　考点一：向量的概念、向量的基本定理

　　了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

　　注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同;两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

　　考点二：向量的运算

　　向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算;掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系;掌握向量的数量积的`运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

　　命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

　　考点三：定比分点

　　掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。

　　重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。

　　考点四：向量与三角函数的综合问题

　　向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。

　　命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

　　考点五：平面向量与函数问题的交汇

　　平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

　　命题多以解答题为主，属中档题。

　　考点六：平面向量在平面几何中的应用

　　向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

　　命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

　　平面向量

　　戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：

　　(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).

　　向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

　　戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);

　　两个向量共线的充要条件：

　　(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .

　　(2) 若=( ),b=( )则‖b .

　　平面向量基本定理：

　　若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数，使得= e1+ e2

向量知识总结4

　　数学必修四知识点总结平面向量

　　1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=（_+_'，y+y'）。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a；

　　结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。 0的反向量为0

　　AB—AC=CB。即“共同起点，指向被减”

　　a=（_，y）b=（_'，y'）则a—b=（_—_'，y—y'）。

　　3、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣？∣a∣。

　　当λ>0时，λa与a同方向；

　　当λ<0时，λa与a反方向；

　　当λ=0时，λa=0，方向任意。

　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣>1时，表示向量a的`有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　　当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：（λa）？b=λ（a？b）=（a？λb）。

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa。

　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。

　　数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　4、向量的的数量积

　　定义：已知两个非零向量a，b。作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a？b。若a、b不共线，则a？b=|a|？|b|？cos〈a，b〉；若a、b共线，则a？b=+—∣a∣∣b∣。

　　向量的数量积的坐标表示：a？b=_？_'+y？y'。

　　向量的数量积的运算律

　　a？b=b？a（交换律）；

　　（λa）？b=λ（a？b）（关于数乘法的结合律）；

　　（a+b）？c=a？c+b？c（分配律）；

　　向量的数量积的性质

　　a？a=|a|的平方。

　　a⊥b 〈=〉a？b=0。

　　|a？b|≤|a|？|b|。

　　向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1、向量的数量积不满足结合律，即：（a？b）？c≠a？（b？c）；例如：（a？b）^2≠a^2？b^2。

　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由a？b=a？c（a≠0），推不出b=c。

　　3、|a？b|≠|a|？|b|

　　4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=—b。

　　5、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|？|b|？sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

　　向量的向量积性质：

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　　a×a=0。

　　a‖b〈=〉a×b=0。

　　向量的向量积运算律

　　a×b=—b×a；

　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　　（a+b）×c=a×c+b×c。

　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的

　　6、向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

　　①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

　　②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

　　2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。

　　①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

　　②当且仅当a、b反向时，右边取等号。

　　7、定比分点

　　定比分点公式（向量P1P=λ？向量PP2）

　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ？向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2xxx的比。

　　若P1（_1，y1），P2（_2，y2），P（_，y），则有

　　OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式）

　　_=（_1+λ_2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分点坐标公式）

　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

　　8、三点共线定理

　　若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线

　　三角形重心判断式

　　在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心

向量知识总结5

　　1、点，线，面

　　点，线，面：

　　①图形是由点，线，面构成的。

　　②面与面相交得线，线与线相交得点。

　　③点动成线，线动成面，面动成体。

　　展开与折叠：

　　①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。

　　②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

　　截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

　　视图：主视图，左视图，俯视图。

　　多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

　　弧、扇形：

　　①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。

　　②圆可以分割成若干个扇形。

　　2、角

　　线：

　　①线段有两个端点。

　　②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。

　　③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。

　　④经过两点有且只有一条直线。

　　比较长短：

　　①两点之间的所有连线中，线段最短。

　　②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

　　角的度量与表示：

　　①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。

　　②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

　　角的比较：

　　①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

　　②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，xxx的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，xxx的角叫做周角。

　　③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

　　平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

　　②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

　　③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

　　垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

　　②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

　　③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

　　垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

　　垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后（关于画法，后面会讲）一定要把线段穿出2点。

　　垂直平分线定理：

　　性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；

　　判定定理：到线段2端点距离相等的点在这线段的`垂直平分线上

　　角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

　　定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线是一条射线，不是线段也不是直线，很多时，在题目中会出现直线，这是角平分线的对称轴才会用直线的，这也涉及到轨迹的问题，一个角个角平分线就是到角两边距离相等的点

　　性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等

　　判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上

　　正方形：一组邻边相等的矩形是正方形

　　性质：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质

　　判定：

　　1、对角线相等的菱形

　　2、邻边相等的矩形

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